Apocalyptic Proof of the Riemann Hypothesis with the Generating Function for Prime Numbers

1. Introduction

The Riemann Zeta Function embodies both additive and multiplicative structures in a single function, making it the most important tool in the study of prime numbers. The Riemann zeta function is crucial in number theory and has applications in physics, probability theory, and applied statistics. It is named after the German mathematician Bernhard Riemann, who discussed it in the memoir "On the Number of Primes Less Than a Given Quantity," published in 1859.[1] Riemann knew that the function equals zero for all negative even integers -2,-4,-6, etc.(referred to as trivial zeros), and that it has an infinite number of zeros in the critical strip of complex numbers between the lines x = 0 and x = 1. Riemann conjectured that all nontrivial zeros are on the critical line, a conjecture that later became known as the Riemann hypothesis. In 1900, the German mathematician David Hilbert referred to the Riemann Hypothesis as one of the most important questions in all of mathematics, as evidenced by its inclusion in his influential list of 23 unsolved problems that he presented to 20th-century mathematicians. [2]

2. Riemann Hypothesis

The real part of every nontrivial zero of the Riemann zeta function is 1/2. Therefore, if the hypothesis is correct, all nontrivial zeros lie on the critical line consisting of the complex numbers (${\displaystyle \frac{1}{2}}\pm \mathrm{i}$ b), where b is a real number and i is an imaginary unit.

2.1. Riemann Zeta Function

The Riemann zeta function can be expressed in the following form for complex s.ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s = 1 1 s + 1 2 s + 1 3 s + ⋯

$$\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{n}}^{\mathrm{s}}}}={\displaystyle \frac{1}{1^{\mathrm{s}}}}+{\displaystyle \frac{1}{2^{\mathrm{s}}}}+{\displaystyle \frac{1}{3^{\mathrm{s}}}}+\dots +{\displaystyle \frac{1}{{\mathrm{n}}^{\mathrm{s}}}}+\dots \mathrm{ }\mathrm{ },\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{R}\mathrm{e}\left(\mathrm{s}\right)>1\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

(1)

The Riemann hypothesis discusses zeros outside the region of convergence of this series and Euler product. To make sense of the hypothesis, it is necessary to analytically continue the function to obtain a form that is valid for all complex s. Because the zeta function is meromorphic, all choices of how to perform this analytic continuation will lead to the same result, by the identity theorem. A first step in this continuation observes that the series for the zeta function and the Dirichlet eta function satisfy the relation within the region of convergence for both series.

$$\left(1-{\displaystyle \frac{2}{2^{\mathrm{s}}}}\right)\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)=\mathsf{\eta }\left(\mathrm{s}\right)=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{{(-1)}^{\mathrm{n}+1}}{{\mathrm{n}}^{\mathrm{s}}}}={\displaystyle \frac{1}{1^{\mathrm{s}}}}-{\displaystyle \frac{1}{2^{\mathrm{s}}}}+{\displaystyle \frac{1}{3^{\mathrm{s}}}}-\dots \mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ },\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{R}\mathrm{e}\left(\mathrm{s}\right)>0\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

(2)

However, the zeta function series on the right converges not just when the real part of s is greater than one, but more generally whenever s has a positive real part. Thus, the zeta function can be redefined as $\mathsf{\eta }\left(\mathrm{s}\right)/$ $\left(1-{\displaystyle \frac{2}{2^{\mathrm{s}}}}\right)$, extending it from Re(s) > 1 to a larger domain: Re(s) > 0, except for the points where$\left(1-{\displaystyle \frac{2}{2^{\mathrm{s}}}}\right)$ is zero.

In the strip 0 < Re(s) < 1 this extension of the zeta function satisfies the functional equation.

$$\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)=2^{\mathrm{s}} {\mathsf{\pi }}^{\mathrm{s}-1}\sin \left({\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }\mathrm{s}}{2}}\right)Г(1-s)\mathrm{ }\mathsf{\zeta }(1-\mathrm{s})$$

(3)

We start by converting relation 2 into a complex form.

$$\left(1-{\displaystyle \frac{2}{2^{\mathrm{s}}}}\right)\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)=\mathsf{\eta }\left(\mathrm{s}\right)=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{{\left(-1\right)}^{\mathrm{n}+1}}{{\mathrm{n}}^{\mathrm{s}}}}\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ },\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{R}\mathrm{e}\left(\mathrm{s}\right)>0\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

$$\mathrm{s}=\mathrm{ }\mathrm{a}+\mathrm{i}\mathrm{b}$$

$$\left(1-{\displaystyle \frac{2}{2^{\mathrm{s}}}}\right)\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{{(-1)}^{\mathrm{n}+1}\mathrm{n}}^{-\mathrm{s}}=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{{(-1)}^{\mathrm{n}+1}\mathrm{n}}^{-\left(\mathrm{a}+\mathrm{i}\mathrm{b}\right)}=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{{(-1)}^{\mathrm{n}+1}\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}.{\mathrm{n}}^{-\mathrm{i}\mathrm{b}}\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

(4)

By utilizing the trigonometric relationship, we can convert Riemann’s zeta function from a complex form to a sinusoidal form.

$$\mathrm{e} {\mathrm{i}}^{\mathsf{\theta }}=\cos \left(\mathsf{\theta }\right)+i\text{sin(θ)}$$

$${\mathrm{n}}^{-\mathrm{i}\mathrm{b}}={\mathrm{e}}^{\mathrm{l}\mathrm{n}\left({\mathrm{n}}^{-\mathrm{i}\mathrm{b}}\right)}={\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\mathrm{b}.\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)}=\cos \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]-i\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]\mathrm{ }$$

$$\left(1-{\displaystyle \frac{2}{2^{\mathrm{s}}}}\right)\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{{(-1)}^{\mathrm{n}+1}\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}.{\mathrm{n}}^{-\mathrm{i}\mathrm{b}}\mathrm{ }\mathrm{ }=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{(-1)}^{\mathrm{n}+1}\left\{{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}.\cos \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]-i{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}.\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]\right\}$$

$$\left(1-{\displaystyle \frac{2}{2^{\mathrm{s}}}}\right)\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{(-1)}^{\mathrm{n}+1}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}.\cos \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]-i\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{(-1)}^{\mathrm{n}+1}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}.\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

(5)

$$\mathrm{R}\mathrm{e}\left[\left(1-{\displaystyle \frac{2}{2^{\mathrm{s}}}}\right)\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)\right]=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{(-1)}^{\mathrm{n}+1}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}.\cos \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]$$

(6)

$$\mathrm{I}\mathrm{m}\left[\left(1-{\displaystyle \frac{2}{2^{\mathrm{s}}}}\right)\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)\right]=-\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(-1\right)}^{\mathrm{n}+1}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}.\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

(7)

$$\mathrm{If} \mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)=0 \mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{n}: \mathrm{R}\mathrm{e}\left[\left(1-{\displaystyle \frac{2}{2^{\mathrm{s}}}}\right)\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)\right]=0, \mathrm{I}\mathrm{m}\left[\left(1-{\displaystyle \frac{2}{2^{\mathrm{s}}}}\right)\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)\right]=0$$

(8)

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(-1\right)}^{\mathrm{n}+1}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}.\cos \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=0$$

(9)

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{(-1)}^{\mathrm{n}+1}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}.\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=0$$

(10)

By using the following trigonometric relation and multiplying both equations 9 and 10 by cos (θ) and

sin(θ), then add them.

$$\cos (\mathsf{\alpha }-\mathsf{\beta })=(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathsf{\alpha }.\cos \mathsf{\beta })+\mathrm{ }\left(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathsf{\alpha }\mathrm{ }.\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathsf{\beta }\right)$$

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(-1\right)}^{\mathrm{n}+1}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}.\cos \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(-1\right)}^{\mathrm{n}+1}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}.\cos \left(\mathsf{\theta }\right).\cos \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=0\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

(11)

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(-1\right)}^{\mathrm{n}+1}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}.\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(-1\right)}^{\mathrm{n}+1}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}.\sin \left(\mathsf{\theta }\right).\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=0\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

(12)

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{{\left(-1\right)}^{\mathrm{n}+1}\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}.\{\cos \left(\mathsf{\theta }\right).\cos \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]+\sin \left(\mathsf{\theta }\right).\sin \left[\mathrm{b\; ln}\left(\mathrm{n}\right)\right]\}=0\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

(13)

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{{\left(-1\right)}^{\mathrm{n}+1}\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}.\cos \left[\mathsf{\theta }-\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=0$$

(14)

$$\mathrm{I}\mathrm{f} \mathsf{\theta }={\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}} , \mathrm{T}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{n}:\mathrm{ } \sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{{\left(-1\right)}^{\mathrm{n}+1}\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}.\cos [{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)]=0$$

(15)

Relation 15 is considered a Reference Relation, so that every final relation will be compared with it in all stages of the proof.

In this way, we can write $\mathsf{\zeta }\left(1-\mathrm{s}\right)$ in complex form.

$$\left(1-{\displaystyle \frac{2}{2^{1-\mathrm{s}}}}\right)\mathsf{\zeta }\left(1-\mathrm{s}\right)=\mathsf{\eta }\left(1-\mathrm{s}\right)=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{{\left(-1\right)}^{\mathrm{n}+1}}{{\mathrm{n}}^{1-\mathrm{s}}}},\mathrm{R}\mathrm{e}\left(\mathrm{s}\right)>0\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

(16)

$$\mathrm{s}=\mathrm{ }\mathrm{a}+\mathrm{i}\mathrm{b}$$

$$\left(1-{\displaystyle \frac{2}{2^{1-\mathrm{s}}}}\right)\mathsf{\zeta }\left(1-\mathrm{s}\right)=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{{(-1)}^{\mathrm{n}+1}\mathrm{n}}^{-1+\mathrm{s}}=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{{(-1)}^{\mathrm{n}+1}\mathrm{n}}^{(-1+\mathrm{a}+\mathrm{i}\mathrm{b})}=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{{(-1)}^{\mathrm{n}+1}\mathrm{n}}^{-1+\mathrm{a}}.{\mathrm{n}}^{\mathrm{i}\mathrm{b}}\mathrm{ }$$

(17)

$$\mathrm{e} {\mathrm{i}}^{\mathsf{\theta }}=\cos \left(\mathsf{\theta }\right)+i·\text{sin(θ)}$$

$${\mathrm{n}}^{\mathrm{i}\mathrm{b}}={\mathrm{e}}^{\mathrm{l}\mathrm{n}\left({\mathrm{n}}^{\mathrm{i}\mathrm{b}}\right)}={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\mathrm{b}.\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)}=\cos \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]+i\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]\mathrm{ }$$

$$\left(1-{\displaystyle \frac{2}{2^{1-\mathrm{s}}}}\right)\mathsf{\zeta }\left(1-\mathrm{s}\right)=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{{(-1)}^{\mathrm{n}+1}\mathrm{n}}^{-1+\mathrm{a}}.{\mathrm{n}}^{\mathrm{i}\mathrm{b}}\mathrm{ }\mathrm{ }=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{(-1)}^{\mathrm{n}+1}\left\{{\mathrm{n}}^{-1+\mathrm{a}}.\cos \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]+i{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}.\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]\right\}$$

$$\left(1-{\displaystyle \frac{2}{2^{1-\mathrm{s}}}}\right)\mathsf{\zeta }\left(1-\mathrm{s}\right)=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{{(-1)}^{\mathrm{n}+1}\mathrm{n}}^{-1+\mathrm{a}}.\cos \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]+i\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{(-1)}^{\mathrm{n}+1}{\mathrm{n}}^{-1+\mathrm{a}}.\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

(18)

$$\mathrm{R}\mathrm{e}\left[\left(1-{\displaystyle \frac{2}{2^{1-\mathrm{s}}}}\right)\mathsf{\zeta }\left(1-\mathrm{s}\right)\right]=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{{(-1)}^{\mathrm{n}+1}\mathrm{n}}^{-1+\mathrm{a}}.\cos \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

(19)

$$\mathrm{I}\mathrm{m}\left[\left(1-{\displaystyle \frac{2}{2^{1-\mathrm{s}}}}\right)\mathsf{\zeta }\left(1-\mathrm{s}\right)\right]=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{(-1)}^{\mathrm{n}+1}{\mathrm{n}}^{-1+\mathrm{a}}.\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

(20)

$$\mathrm{If} \mathsf{\zeta }\left(1-\mathrm{s}\right)=0\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{n}:\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{R}\mathrm{e}\left[\left(1-{\displaystyle \frac{2}{2^{1-\mathrm{s}}}}\right)\mathsf{\zeta }\left(1-\mathrm{s}\right)\right]=0\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ },\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{I}\mathrm{m}\left[\left(1-{\displaystyle \frac{2}{2^{1-\mathrm{s}}}}\right)\mathsf{\zeta }\left(1-\mathrm{s}\right)\right]=0$$

(21)

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{{(-1)}^{\mathrm{n}+1}\mathrm{n}}^{-1+\mathrm{a}}.\cos \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=0\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

(22)

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(-1\right)}^{\mathrm{n}+1}{\mathrm{n}}^{-1+\mathrm{a}}.\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]\mathrm{ }=0\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

(23)

2.2. Proof of the Riemann Hypothesis

2.2.1. Determining the Value of “a” in$\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)$

$$\mathrm{If} \mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)=0\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{n}:\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{R}\mathrm{e}\left[\left(1-{\displaystyle \frac{2}{2^{\mathrm{s}}}}\right)\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)\right]=0\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ },\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{I}\mathrm{m}\left[\left(1-{\displaystyle \frac{2}{2^{\mathrm{s}}}}\right)\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)\right]=0$$

(24)

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(-1\right)}^{\mathrm{n}+1}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}.\cos \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=0\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

(25)

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{(-1)}^{\mathrm{n}+1}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}.\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=0\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

(26)

First, convert equation 9 from cosine to sine, and then add equation 10 to obtain equation 27.

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(-1\right)}^{\mathrm{n}+1}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}.\cos \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{{\left(-1\right)}^{\mathrm{n}+1}\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}.\sin \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{2}}-\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=0$$

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{(-1)}^{\mathrm{n}+1}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}.\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=0$$

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(-1\right)}^{\mathrm{n}+1}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}.\cos \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]+\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{(-1)}^{\mathrm{n}+1}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}.\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=0$$

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{{\left(-1\right)}^{\mathrm{n}+1}\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}.\sin \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{2}}-\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]+\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{(-1)}^{\mathrm{n}+1}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}.\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=0$$

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(-1\right)}^{\mathrm{n}+1}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}.\{\sin \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{2}}-\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]+\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]\}=0\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

(27)

By expanding equation 27 using the trigonometric relation, we obtain equation 28.

$$\sin \mathsf{\alpha }+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathsf{\beta }=2\sin {\displaystyle \frac{\mathsf{\alpha }+\mathsf{\beta }}{2}}.\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\displaystyle \frac{\mathsf{\alpha }-\mathsf{\beta }}{2}}$$

$$1^{-\mathbf{a}}.\{\mathrm{ }\sin \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{2}}-\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(1\right)\right]+\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(1\right)\right]\}-2^{-\mathbf{a}}.\{\mathrm{ }\sin \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{2}}-\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(2\right)\right]+\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(2\right)\right]\}+3^{-\mathbf{a}}.\{\mathrm{ }\sin \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{2}}-\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(3\right)\right]+\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(3\right)\right]\}-\dots +{\mathbf{n}}^{-\mathbf{a}}.\{\mathrm{ }\sin \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{2}}-\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]+\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]\}=0$$

$$1-2^{-\mathbf{a}}.\{2\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left({\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}\right) \cos [{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(2\right)]\}+3^{-\mathbf{a}}.\{2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left({\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}\right)\cos [{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(3\right)]\}-\dots$$

$$+\mathrm{ }{\mathbf{n}}^{-\mathbf{a}}.\{2\mathrm{ }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left({\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}\right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right\}=0$$

$$1-2^{-\mathbf{a}}.\{\mathbf{}\sqrt{2} .\cos [{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(2\right)]\}+3^{-\mathbf{a}}.\{\sqrt{2}.\cos [{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathbf{}\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(3\right)]\}-\text{…}+\mathbf{}{\mathbf{n}}^{-\mathbf{a}}.\{\mathbf{}\sqrt{2}\cos \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]\}=0$$

(28)

Divide both sides of equation 28 by $\sqrt{2}$

$$({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})-2^{-\mathbf{a}}.\{\cos [{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(2\right)]\}+3^{-\mathbf{a}}.\left\{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\right[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(3\right)\left]\right\}-\text{…}+\mathrm{ }{\mathbf{n}}^{-\mathbf{a}}.\left\{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]\right\}=0$$

(29)

In the second sentence of relation 29, we make a small change because 1 minus 1 equals 0.

$$({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})-2^{-\mathbf{a}}.\left\{1-1+\cos \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(2\right)\right]\right\}+3^{-\mathbf{a}}.\left\{\cos \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(3\right)\right]\right\}-\text{…}+\mathbf{}{\mathbf{n}}^{-\mathbf{a}}.\left\{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]\right\}=0$$

(30)

$$-1=-\sqrt{2}\left\{.1^{-\mathbf{a}}\cos \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(1\right)\right]\right\}$$

(31)

With the use of 31, we will have.

$$({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})-2^{-\mathbf{a}}.\left\{1-\sqrt{2}\left\{1^{-\mathbf{a}}.\cos \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(1\right)\right]\right\}-\cos \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(2\right)\right]\right\}+3^{-\mathbf{a}}.\left\{\cos \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(3\right)\right]\right\}-\text{…}+\mathbf{}{\mathbf{n}}^{-\mathbf{a}}.\left\{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]\right\}=0$$

Once we have defined the relationships, we can revisit the Function, which is similar to relation #15.

$$\left\{\left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}-2^{-\mathbf{a}}\right)+{(2}^{-\mathbf{a}}.\sqrt{2}).1^{-\mathbf{a}}.\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(1\right)]\right\}-$$

$$2^{-\mathbf{a}}.\left\{\cos \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(2\right)\right]\right\}+3^{-\mathbf{a}}.\left\{\cos \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(3\right)\right]\right\}-\text{…}+\mathbf{}{\mathbf{n}}^{-\mathbf{a}}.\left\{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]\right\}=0$$

(32)

If the expression$({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$-$2^{-\mathrm{a}})$ is equal to zero and the expression ($2^{-\mathrm{a}}.\sqrt{2}$) is equal to one, then Equation 32 becomes similar to Relation 15.

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{{\left(-1\right)}^{\mathrm{n}+1}\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}.\cos [{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)]=0$$

$$1^{-\mathbf{a}}.\cos [{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(1\right)]\}-\mathbf{}{2}^{-\mathbf{a}}.\{\cos [{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(2\right)]\}+3^{-\mathbf{a}}.\left\{\cos \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(3\right)\right]\right\}-$$

…+

$${\mathbf{n}}^{-\mathbf{a}}.\left\{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]\right\}=0$$

(33)

$$\mathrm{Therefore}, \left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\right)-2^{-\mathrm{a}}=0 \mathrm{and} 2^{-\mathrm{a}}.\sqrt{2}=1 , \mathrm{then}\text{:} \mathrm{a}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$

(34)

To obtain a, the manipulation of function clauses was only done in the second clause, which includes the prefix$\mathrm{ }{2}^{-\mathrm{a}}$. The expression -1+1 is added to it, resulting in a favorable outcome that confirms the correctness of Riemann's Hypothesis. However, manipulating the remaining sentences yields new values ​​for a, which necessitates checking if there is a root on these new lines. We start from equation 29.

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{{\left(-1\right)}^{\mathrm{n}+1}\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}.\cos [{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)]=\left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\right)-2^{-\mathbf{a}}.\left\{\cos \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(2\right)\right]\right\}+3^{-\mathbf{a}}.\left\{\cos \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(3\right)\right]\right\}-\dots +\mathrm{ }{\mathbf{n}}^{-\mathbf{a}}.\left\{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]\right\}=\left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\right)-2^{-\mathbf{a}}.\left\{\cos \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(2\right)\right]\right\}+3^{-\mathbf{a}}.\left\{-1+1+\cos \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(3\right)\right]\right\}-\dots +\mathrm{ }{\mathbf{n}}^{-\mathbf{a}}.\left\{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]\right\}=0\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

$$\left\{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\right)-3^{-\mathbf{a}}\right\}+\mathrm{ }\left\{3^{-\mathbf{a}}.\sqrt{2}\right\}\left\{1^{-\mathbf{a}}\cos \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(1\right)\right]\right\}-2^{-\mathbf{a}}.\left\{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(2\right)\right]\right\}$$

$$+3^{-\mathbf{a}}.\left\{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(3\right)]\}\right\}-\dots +\mathrm{ }{\mathbf{n}}^{-\mathbf{a}}.\left\{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]\right\}=0\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

(35)

If the expression$\mathrm{ }\left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\right)-3^{-\mathbf{a}}$ equals to zero and the expression $3^{-\mathbf{a}}.\sqrt{2}$ equals to one, then Relation 35 becomes similar to Relation 15.

$$\mathrm{If} \left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\right)-3^{-\mathrm{a}}=0 , 3^{-\mathrm{a}}.\sqrt{2}=1 \mathrm{then}\text{:} 3^{-\mathrm{a}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}} , 3^{\mathrm{a}}=\sqrt{2} , \mathrm{a}.\mathrm{l}\mathrm{n}\left(3\right)={\displaystyle \frac{1}{2}} .\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(2\right) , \mathrm{a}={\displaystyle \frac{\mathrm{l}\mathrm{n}\left(2\right)}{\mathrm{l}\mathrm{n}\left(3^2\right)}}$$

(36)

$\mathrm{ }\mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{l}\mathrm{y},\mathrm{ }\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{ }\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{ }\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{ }\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{ }\mathrm{w}\mathrm{e}\mathrm{ }\mathrm{w}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{ }\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{e}:\mathrm{ }$#

$$\mathrm{ }\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{{\left(-1\right)}^{\mathrm{n}+1}\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}.\cos [{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)]=\left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\right)-2^{-\mathbf{a}}.\left\{\cos \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(2\right)\right]\right\}+3^{-\mathbf{a}}.\left\{\cos \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(3\right)\right]\right\}-\dots +{\mathbf{n}}^{-\mathbf{a}}.\left\{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]\right\}=0$$

$$\left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\right)-2^{-\mathbf{a}}.\left\{\cos \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(2\right)\right]\right\}+3^{-\mathbf{a}}.\left\{\cos \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(3\right)\right]\right\}-\dots +$$

$${\mathbf{n}}^{-\mathbf{a}}.\left\{-1+1+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]\right\}=0\mathrm{ }$$

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{{\left(-1\right)}^{\mathrm{n}+1}\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}.\cos [{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)]=\left\{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\right)-{\mathbf{n}}^{-\mathbf{a}}\right\}+\mathrm{ }\left\{{\mathbf{n}}^{-\mathbf{a}}.\sqrt{2}\right\}\left\{1^{-\mathbf{a}}\cos \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(1\right)\right]\right\}-2^{-\mathbf{a}}.\left\{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(2\right)\right]\right\}$$

$$+3^{-\mathbf{a}}.\left\{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(3\right)]\}\right\}-\dots +\mathrm{ }{\mathbf{n}}^{-\mathbf{a}}.\left\{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]\right\}=0\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

(37)

If the expression$\left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\right)-{\mathbf{n}}^{-\mathbf{a}}$ equals to zero and the expression${\mathbf{n}}^{-\mathbf{a}}.\sqrt{2}$ equals to one, then Relation 37 becomes similar to Relation 15.

$$\mathrm{If} \left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\right)-{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}=0 , {\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}.\sqrt{2}=1 \mathrm{then}\text{:} {\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}} , {\mathrm{n}}^{\mathrm{a}}=\sqrt{2} , \mathrm{a}. \mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)={\displaystyle \frac{1}{2}} .\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(2\right) , \mathrm{a}={\displaystyle \frac{\mathrm{l}\mathrm{n}\left(2\right)}{\mathrm{l}\mathrm{n}\left({\mathrm{n}}^2\right)}}$$

(38)

Graphical Proof:

By plotting the function at certain points, it is easy to understand that the Zeta Riemann function has no roots at these points except for the Re(s) =$\mathrm{½}.$

Figure 1. Plots of |$\mathsf{\zeta }(\mathsf{\sigma }+\mathrm{i}\mathrm{t})|$ with $\mathsf{\sigma }=\left\{0,{\displaystyle \frac{1}{16}},{\displaystyle \frac{1}{8}},{\displaystyle \frac{1}{4}},{\displaystyle \frac{1}{2}}\right\} \mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d} 0\le \mathrm{t}\le 100.$

Figure 1. Plots of |$\mathsf{\zeta }(\mathsf{\sigma }+\mathrm{i}\mathrm{t})|$ with $\mathsf{\sigma }=\left\{0,{\displaystyle \frac{1}{16}},{\displaystyle \frac{1}{8}},{\displaystyle \frac{1}{4}},{\displaystyle \frac{1}{2}}\right\} \mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d} 0\le \mathrm{t}\le 100.$

Figure 2. Plots of |$\mathsf{\zeta }(\mathsf{\sigma }+\mathrm{i}\mathrm{t})|$ with $\mathsf{\sigma }=\left\{0,{\displaystyle \frac{1}{8}},{\displaystyle \frac{1}{2}}\right\} \mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d} 0\le \mathrm{t}\le 100.$

Figure 2. Plots of |$\mathsf{\zeta }(\mathsf{\sigma }+\mathrm{i}\mathrm{t})|$ with $\mathsf{\sigma }=\left\{0,{\displaystyle \frac{1}{8}},{\displaystyle \frac{1}{2}}\right\} \mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d} 0\le \mathrm{t}\le 100.$

Figure 3. Plots of |$\mathsf{\zeta }(\mathsf{\sigma }+\mathrm{i}\mathrm{t})|$ with $\mathsf{\sigma }=\left\{0,{\displaystyle \frac{1}{2}}\right\}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}0\le \mathrm{t}\le 100.$

Figure 3. Plots of |$\mathsf{\zeta }(\mathsf{\sigma }+\mathrm{i}\mathrm{t})|$ with $\mathsf{\sigma }=\left\{0,{\displaystyle \frac{1}{2}}\right\}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{d}0\le \mathrm{t}\le 100.$

2.2.2. Determining the Value of “a” in $\mathsf{\zeta }\left(1-\mathrm{s}\right)$

In the strip 0 < Re(s) < 1 this extension of the zeta function satisfies the functional equation.

$$\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)={\displaystyle \frac{1}{\left(1-\frac{2}{2^{\mathrm{s}}}\right)}}\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{{\left(-1\right)}^{\mathrm{n}+1}}{{\mathrm{n}}^{\mathrm{s}}}}\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }=\mathrm{ }\mathrm{ }{\displaystyle \frac{1}{\left(1-\frac{1}{2^{\mathrm{s}-1}}\right)}}\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{{\left(-1\right)}^{\mathrm{n}+1}}{{\mathrm{n}}^{\mathrm{s}}}}\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

$$\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)=2^{\mathrm{s}} {\mathsf{\pi }}^{\mathrm{s}-1}\sin \left({\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }\mathrm{s}}{2}}\right)Г\left(1-s\right)\mathsf{\zeta }\left(1-\mathrm{s}\right)$$

$$\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)=\mathsf{\zeta }\left(1-\mathrm{s}\right) , \mathrm{If} \mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)=0\mathrm{ }\mathrm{ }, \mathrm{Then}\text{:} \mathsf{\zeta }\left(1-\mathrm{s}\right)=0\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

$$\mathrm{If} \mathsf{\zeta }\left(1-\mathrm{s}\right)=0\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{n}:\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{R}\mathrm{e}\left[\left(1-{\displaystyle \frac{2}{2^{1-\mathrm{s}}}}\right)\mathsf{\zeta }\left(1-\mathrm{s}\right)\right]=0\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ },\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{I}\mathrm{m}\left[\left(1-{\displaystyle \frac{2}{2^{1-\mathrm{s}}}}\right)\mathsf{\zeta }\left(1-\mathrm{s}\right)\right]=0$$

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{{(-1)}^{\mathrm{n}+1}\mathrm{n}}^{-1+\mathrm{a}}.\cos \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=0\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(-1\right)}^{\mathrm{n}+1}{\mathrm{n}}^{-1+\mathrm{a}}.\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]\mathrm{ }=0\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

By using the following trigonometric relation and multiplying both equations 37 and 38 by cos (θ) and        sin (θ), then add them.

$$\cos (\mathsf{\alpha }-\mathsf{\beta })=(\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\mathsf{\alpha }.\cos \mathsf{\beta })+\mathrm{ }\left(\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathsf{\alpha }\mathrm{ }.\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathsf{\beta }\right)$$

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{{(-1)}^{\mathrm{n}+1}\mathrm{n}}^{-1+\mathrm{a}}.\cos \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{{(-1)}^{\mathrm{n}+1}\mathrm{n}}^{-1+\mathrm{a}}.\cos \left(\mathsf{\theta }\right).\cos \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=0\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{(-1)}^{\mathrm{n}+1}{\mathrm{n}}^{-1+\mathrm{a}}.\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]\mathrm{ }=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{(-1)}^{\mathrm{n}+1}{\mathrm{n}}^{-1+\mathrm{a}}.\sin \left(\mathsf{\theta }\right).\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=0\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{{(-1)}^{\mathrm{n}+1}\mathrm{n}}^{-1+\mathrm{a}}.\{\cos \left(\mathsf{\theta }\right).\cos \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]+\sin \left(\mathsf{\theta }\right).\sin \left[\mathrm{b\; ln}\left(\mathrm{n}\right)\right]\}=0\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{{(-1)}^{\mathrm{n}+1}\mathrm{n}}^{-1+\mathrm{a}}.\cos \left[\mathsf{\theta }-\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=0$$

$$\mathrm{I}\mathrm{f}\mathrm{ }:\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathsf{\theta }={\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{T}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{n}:\mathrm{ } \sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{{(-1)}^{\mathrm{n}+1}\mathrm{n}}^{-1+\mathrm{a}}.\cos [{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)]=0\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

(39)

First, convert equation 22 from cosine to sine, and then add equation 23 to obtain equation 40.

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{{(-1)}^{\mathrm{n}+1}\mathrm{n}}^{-1+\mathrm{a}}.\cos \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{{(-1)}^{\mathrm{n}+1}\mathrm{n}}^{-1+\mathrm{a}}.\sin \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{2}}-\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=0$$

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{{(-1)}^{\mathrm{n}+1}\mathrm{n}}^{-1+\mathrm{a}}.\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=0$$

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{{(-1)}^{\mathrm{n}+1}\mathrm{n}}^{-1+\mathrm{a}}.\cos \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]+\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{{(-1)}^{\mathrm{n}+1}\mathrm{n}}^{-1+\mathrm{a}}.\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=0$$

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{{(-1)}^{\mathrm{n}+1}\mathrm{n}}^{-1+\mathrm{a}}.\sin \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{2}}-\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]+\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{{(-1)}^{\mathrm{n}+1}\mathrm{n}}^{-1+\mathrm{a}}.\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=0$$

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{{(-1)}^{\mathrm{n}+1}\mathrm{n}}^{-1+\mathrm{a}}.\{\sin \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{2}}-\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]+\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]\}=0\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

(40)

By expanding equation 40 using the trigonometric relation, we obtain equation 41.

$$\sin \mathsf{\alpha }+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathsf{\beta }=2\sin {\displaystyle \frac{\mathsf{\alpha }+\mathsf{\beta }}{2}}.\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\displaystyle \frac{\mathsf{\alpha }-\mathsf{\beta }}{2}}$$

$$1^{-1+\mathrm{a}}.\{\mathrm{ }\sin \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{2}}-\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(1\right)\right]+\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(1\right)\right]\}-2^{-1+\mathrm{a}}.\{\mathrm{ }\sin \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{2}}-\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(2\right)\right]+\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(2\right)\right]\}+3^{-1+\mathrm{a}}.\{\mathrm{ }\sin \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{2}}-\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(3\right)\right]+\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(3\right)\right]\}-\dots +{\mathbf{n}}^{-1+\mathrm{a}}.\{\mathrm{ }\sin \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{2}}-\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]+\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]\}=0$$

$$1-2^{-1+\mathrm{a}}.\{2\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left({\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}\right) \cos [{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(2\right)]\}+3^{-1+\mathrm{a}}.\{2 \mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left({\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}\right)\cos [{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(3\right)]\}-\dots$$

$$+\mathrm{ }{\mathbf{n}}^{-1+\mathrm{a}}.\{2\mathrm{ }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\left({\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}\right)\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right\}=0$$

$$1-2^{-1+\mathrm{a}}.\{\mathbf{}\sqrt{2} .\cos [{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(2\right)]\}+3^{-1+\mathrm{a}}.\{\sqrt{2}.\cos [{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathbf{}\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(3\right)]\}-\text{…}+\mathbf{}{\mathbf{n}}^{-1+\mathrm{a}}.\{\mathbf{}\sqrt{2}\cos \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]\}=0$$

(41)

Divide both sides of equation 41 by $\sqrt{2}.$

$$({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})-2^{-1+\mathrm{a}}.\{\cos [{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(2\right)]\}+3^{-1+\mathrm{a}}.\left\{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\right[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(3\right)\left]\right\}-\text{…}+\mathrm{ }{\mathbf{n}}^{-1+\mathrm{a}}.\left\{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]\right\}=0$$

(42)

In the second sentence of relation 42, we make a small change because 1 minus 1 equals 0.

$$({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})-2^{-1+\mathrm{a}}.\left\{1-1+\cos \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(2\right)\right]\right\}+3^{-1+\mathrm{a}}.\left\{\cos \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(3\right)\right]\right\}-\text{…}+\mathbf{}{\mathbf{n}}^{-1+\mathrm{a}}.\left\{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]\right\}=0$$

(43)

$$-1=-\sqrt{2}\left\{1^{-1+\mathbf{a}}\cos \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(1\right)\right]\right\}$$

(44)

With the use of 44, we will have more options.

$$({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}})-2^{-1+\mathrm{a}}.\left\{1-\sqrt{2}\left\{1^{-\mathbf{a}}.\cos \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(1\right)\right]\right\}-\cos \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(2\right)\right]\right\}+3^{-1+\mathrm{a}}.\left\{\cos \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(3\right)\right]\right\}-\text{…}+\mathbf{}{\mathbf{n}}^{-1+\mathrm{a}}.\left\{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]\right\}=0$$

Once we have defined the relationships, we can revisit the function, which is similar to relation #39.

$$\left\{\left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}-2^{-1+\mathrm{a}}\right)+{(2}^{-1+\mathrm{a}}.\sqrt{2}).1^{-\mathbf{a}}.\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(1\right)]\right\}-$$

$$2^{-1+\mathrm{a}}.\left\{\cos \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(2\right)\right]\right\}+3^{-1+\mathrm{a}}.\left\{\cos \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(3\right)\right]\right\}-\text{…}+\mathbf{}{\mathbf{n}}^{-1+\mathrm{a}}.\left\{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]\right\}=0$$

(45)

If the expression${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}-2^{-1+\mathrm{a}}$ equals to zero and the expression $2^{-1+\mathrm{a}}.\sqrt{2}$equals to one, then Relation 45 becomes similar to Relation 39.

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{{\left(-1\right)}^{\mathrm{n}+1}\mathrm{n}}^{-1+\mathrm{a}}.\cos [{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)]=0$$

$$\mathrm{ }{1}^{-1+\mathbf{a}}.\cos [{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(1\right)]\}-\mathbf{}{2}^{-1+\mathrm{a}}.\{\cos [{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(2\right)]\}+3^{-1+\mathrm{a}}.\left\{\cos \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(3\right)\right]\right\}-$$

…+

$${\mathbf{n}}^{-1+\mathrm{a}}.\left\{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]\right\}=0$$

(46)

$$\mathrm{Therefore}, \left({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}\right)-2^{-1+\mathrm{a}}=0 \mathrm{and} 2^{-1+\mathrm{a}}.\sqrt{2}=1 , \mathrm{then}\text{:} \mathrm{a}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$

(47)

To obtain a, the manipulation of function clauses was only done in the second clause, which includes the prefix$\mathrm{ }{2}^{-\mathrm{a}}$. The expression -1+1 is added to it, resulting in a favorable outcome that confirms the correctness of Riemann's Hypothesis. However, manipulating the remaining sentences yields new values for a, which necessitates checking if there is a root on these new lines. We start from Relation 42.

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{{\left(-1\right)}^{\mathrm{n}+1}\mathrm{n}}^{-1+\mathrm{a}}.\cos [{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)]=\left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\right)-2^{-1+\mathrm{a}}.\left\{\cos \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(2\right)\right]\right\}+3^{-1+\mathrm{a}}.\left\{\cos \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(3\right)\right]\right\}-\dots +\mathrm{ }{\mathbf{n}}^{-1+\mathrm{a}}.\left\{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]\right\}=\left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\right)-2^{-1+\mathrm{a}}.\left\{\cos \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(2\right)\right]\right\}+3^{-1+\mathrm{a}}.\left\{-1+1+\cos \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(3\right)\right]\right\}-\dots +\mathrm{ }{\mathbf{n}}^{-1+\mathrm{a}}.\left\{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]\right\}=0\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

$$\mathrm{ }\left\{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\right)-3^{-1+\mathrm{a}}\right\}+\mathrm{ }\left\{3^{-1+\mathrm{a}}.\sqrt{2}\right\}\left\{1^{-1+\mathbf{a}}\cos \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(1\right)\right]\right\}-2^{-1+\mathrm{a}}.\left\{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(2\right)\right]\right\}+3^{-1+\mathrm{a}}.\left\{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(3\right)]\}\right\}-\dots +\mathrm{ }{\mathbf{n}}^{-1+\mathrm{a}}.\left\{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]\right\}=0\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

(48)

If the expression$\mathrm{ }\left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\right)-3^{-1+\mathrm{a}}$ equals to zero and the expression $3^{-1+\mathrm{a}}.\sqrt{2}$ equals to one, then Equation 48 becomes similar to Relation 42.

If  $\left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\right)-3^{-1+\mathrm{a}}$ =0 , $3^{-1+\mathrm{a}}.\sqrt{2}=1,$then:  $3^{-1+\mathrm{a}}$ =${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$    $3^{\mathrm{a}}$ =${\displaystyle \frac{3\sqrt{2}}{2}}$ , a.$\mathrm{l}\mathrm{n}\left(3\right)$=${\displaystyle \frac{1}{2}}$ .$\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(2\right)+\mathrm{l}\mathrm{n}\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)$ , a=${\displaystyle \frac{\mathrm{l}\mathrm{n}\left(2\right)}{\mathrm{l}\mathrm{n}\left(3^2\right)}}$ +$\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left({\displaystyle \frac{3}{2}}\right)/$ $\mathrm{l}\mathrm{n}\left(3\right)$

$\mathrm{ }\mathrm{S}\mathrm{i}\mathrm{m}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{l}\mathrm{y},\mathrm{ }\mathrm{f}\mathrm{o}\mathrm{r}\mathrm{ }\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{ }\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{ }\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{t}\mathrm{e}\mathrm{n}\mathrm{c}\mathrm{e}\mathrm{ }\mathrm{w}\mathrm{e}\mathrm{ }\mathrm{w}\mathrm{i}\mathrm{l}\mathrm{l}\mathrm{ }\mathrm{h}\mathrm{a}\mathrm{v}\mathrm{e}:\mathrm{ }$#

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{{\left(-1\right)}^{\mathrm{n}+1}\mathrm{n}}^{-1+\mathrm{a}}.\cos [{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)]=\left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\right)-2^{-1+\mathrm{a}}.\left\{\cos \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(2\right)\right]\right\}+3^{-1+\mathrm{a}}.\left\{\cos \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(3\right)\right]\right\}-\dots +{\mathbf{n}}^{-\mathbf{a}}.\left\{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]\right\}=0$$

(49)

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{{\left(-1\right)}^{\mathrm{n}+1}\mathrm{n}}^{-1+\mathrm{a}}.\cos [{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)]=\left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\right)-2^{-1+\mathrm{a}}.\left\{\cos \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(2\right)\right]\right\}+3^{-1+\mathrm{a}}.\left\{\cos \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(3\right)\right]\right\}-\dots +$$

$${\mathbf{n}}^{-1+\mathrm{a}}.\left\{-1+1+\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]\right\}=0\mathrm{ }$$

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{{\left(-1\right)}^{\mathrm{n}+1}\mathrm{n}}^{-1+\mathrm{a}}.\cos [{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)]=\left\{\left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\right)-{\mathbf{n}}^{-1+\mathrm{a}}\right\}+\mathrm{ }\left\{{\mathbf{n}}^{-1+\mathrm{a}}.\sqrt{2}\right\}\left\{1^{-1+\mathbf{a}}\cos \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(1\right)\right]\right\}-2^{-1+\mathrm{a}}.\left\{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(2\right)\right]\right\}$$

$$+3^{-1+\mathrm{a}}.\left\{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(3\right)]\}\right\}-\dots +\mathrm{ }{\mathbf{n}}^{-1+\mathrm{a}}.\left\{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]\right\}=0\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

(50)

If the expression$\left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\right)-{\mathbf{n}}^{-1+\mathrm{a}}$ equals to zero and the expression${\mathbf{n}}^{-1+\mathrm{a}}.\sqrt{2}$ equals to one, then Equation 50 becomes similar to Relation 42.

If    $\left({\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\right)-{\mathbf{n}}^{-1+\mathrm{a}}$ =0   ,  ${\mathbf{n}}^{-1+\mathrm{a}}.\sqrt{2}=1$    then:  ${\mathbf{n}}^{-1+\mathrm{a}}$ =${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$   , ${\mathrm{n}}^{\mathrm{a}}$ =$\mathrm{n}{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$   ,a.$\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)$=${\displaystyle \frac{1}{2}}$ .$\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(2\right)+\mathrm{l}\mathrm{n}\left({\displaystyle \frac{\mathrm{n}}{2}}\right)$

$$\mathrm{a}={\displaystyle \frac{\mathrm{l}\mathrm{n}\left(2\right)}{\mathrm{l}\mathrm{n}\left({\mathrm{n}}^2\right)}}+\mathrm{l}\mathrm{n}\left({\displaystyle \frac{\mathrm{n}}{2}}\right)/\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)$$

(51)

Analytical Proof:

According to Table 2, the root of ζ(1-s) lies between 1/2 and 1 if 0 < Re(s) ≤ 1/2, which is not possible. Therefore, values of a ≠ 1/2 cannot be the real part of the root of the zeta function. Thus, the function only has roots on the line Re(s) = 1/2. On the other hand, comparing of Tables 1 and 2, shows that the only common root between ζ(s) and ζ(1-s) is a=1/2.

Table 1. potential values of the real part “s”, 0 < a ≤ ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ , for $\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)=0.$

n	2	3	4	5	6	7	8	…	m
a	${\displaystyle \frac{1}{2}}$	0.315464	${\displaystyle \frac{1}{4}}$	0.215338	0.193426	0.178103	${\displaystyle \frac{1}{6}}$	…	${\displaystyle \frac{\mathrm{l}\mathrm{n}\left(2\right)}{\mathrm{l}\mathrm{n}\left({\mathrm{m}}^2\right)}}$

Table 1. potential values of the real part “s”, 0 < a ≤ ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ , for $\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)=0.$

n	2	3	4	5	6	7	8	…	m
a	${\displaystyle \frac{1}{2}}$	0.315464	${\displaystyle \frac{1}{4}}$	0.215338	0.193426	0.178103	${\displaystyle \frac{1}{6}}$	…	${\displaystyle \frac{\mathrm{l}\mathrm{n}\left(2\right)}{\mathrm{l}\mathrm{n}\left({\mathrm{m}}^2\right)}}$

Table 2. potential values of the real part “s”, ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ ≤ a < $1$ for $\mathsf{\zeta }\left(1-\mathrm{s}\right)=0.$

n	2	3	4	…	8	…	m
a	${\displaystyle \frac{1}{2}}$	0.684534	${\displaystyle \frac{3}{4}}$	…	${\displaystyle \frac{5}{6}}$	…

Table 2. potential values of the real part “s”, ${\displaystyle \frac{1}{2}}$ ≤ a < $1$ for $\mathsf{\zeta }\left(1-\mathrm{s}\right)=0.$

n	2	3	4	…	8	…	m
a	${\displaystyle \frac{1}{2}}$	0.684534	${\displaystyle \frac{3}{4}}$	…	${\displaystyle \frac{5}{6}}$	…

2.2.3. The Final Proof of the Riemann Hypothesis

The complex form of equations (5 and 18) for $\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)\mathrm{ }$and $\mathsf{\zeta }\left(1-\mathrm{s}\right)$ are written.

$$\left(1-{\displaystyle \frac{2}{2^{\mathrm{s}}}}\right)\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{(-1)}^{\mathrm{n}+1}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}.\cos \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]-i\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{(-1)}^{\mathrm{n}+1}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}.\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

$$\left(1-{\displaystyle \frac{2}{2^{1-\mathrm{s}}}}\right)\mathsf{\zeta }\left(1-\mathrm{s}\right)=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{{\left(-1\right)}^{\mathrm{n}+1}\mathrm{n}}^{-1+\mathrm{a}}.\cos \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]+i\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(-1\right)}^{\mathrm{n}+1}{\mathrm{n}}^{-1+\mathrm{a}}.\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]\mathrm{ }$$

$$\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)=0$$

$$\mathrm{R}\mathrm{e}\left[\left(1-{\displaystyle \frac{2}{2^{\mathrm{s}}}}\right)\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)\right]=0\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ },\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{I}\mathrm{m}\left[\left(1-{\displaystyle \frac{2}{2^{\mathrm{s}}}}\right)\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)\right]=0$$

$$\mathrm{R}\mathrm{e}\left[\left(1-{\displaystyle \frac{2}{2^{\mathrm{s}}}}\right)\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)\right]=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(-1\right)}^{\mathrm{n}+1}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}.\cos \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=0$$

$$\mathrm{I}\mathrm{m}\left[\left(1-{\displaystyle \frac{2}{2^{\mathrm{s}}}}\right)\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)\right]=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(-1\right)}^{\mathrm{n}+1}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}.\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=0$$

$$\mathsf{\zeta }\left(1-\mathrm{s}\right)=0$$

$$\mathrm{R}\mathrm{e}\left[\left(1-{\displaystyle \frac{2}{2^{1-\mathrm{s}}}}\right)\mathsf{\zeta }\left(1-\mathrm{s}\right)\right]=0\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ },\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{I}\mathrm{m}\left[\left(1-{\displaystyle \frac{2}{2^{1-\mathrm{s}}}}\right)\mathsf{\zeta }\left(1-\mathrm{s}\right)\right]=0$$

$$\mathrm{R}\mathrm{e}\left[\left(1-{\displaystyle \frac{2}{2^{1-\mathrm{s}}}}\right)\mathsf{\zeta }\left(1-\mathrm{s}\right)\right]=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{{\left(-1\right)}^{\mathrm{n}+1}\mathrm{n}}^{-1+\mathrm{a}}.\cos \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{{\left(-1\right)}^{\mathrm{n}+1}\mathrm{n}}^{-1+2\mathrm{a}}.{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}\cos \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=0$$

$$\mathrm{I}\mathrm{m}\left[\left(1-{\displaystyle \frac{2}{2^{1-\mathrm{s}}}}\right)\mathsf{\zeta }\left(1-\mathrm{s}\right)\right]=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(-1\right)}^{\mathrm{n}+1}{\mathrm{n}}^{-1+\mathrm{a}}.\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]\mathrm{ }=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(-1\right)}^{\mathrm{n}+1}{\mathrm{n}}^{-1+2\mathrm{a}}.{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}.\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=0$$

$$\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)=\mathsf{\zeta }\left(1-\mathrm{s}\right)=0$$

$$\mathrm{R}\mathrm{e}\left[\left(1-{\displaystyle \frac{2}{2^{\mathrm{s}}}}\right)\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)\right]=\mathrm{R}\mathrm{e}\left[\left(1-{\displaystyle \frac{2}{2^{1-\mathrm{s}}}}\right)\mathsf{\zeta }\left(1-\mathrm{s}\right)\right]=0$$

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(-1\right)}^{\mathrm{n}+1}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}.\cos \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{{\left(-1\right)}^{\mathrm{n}+1}\mathrm{n}}^{-1+2\mathrm{a}}.{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}\cos \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=0$$

(52)

$$\mathrm{I}\mathrm{m}\left[\left(1-{\displaystyle \frac{2}{2^{\mathrm{s}}}}\right)\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)\right]=\mathrm{I}\mathrm{m}\left[\left(1-{\displaystyle \frac{2}{2^{1-\mathrm{s}}}}\right)\mathsf{\zeta }\left(1-\mathrm{s}\right)\right]=0$$

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(-1\right)}^{\mathrm{n}+1}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}.\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(-1\right)}^{\mathrm{n}+1}{\mathrm{n}}^{-1+2\mathrm{a}}.{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}.\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=0$$

(53)

By comparing both sides of equations 52 and 53, we can determine the value of "a".

$${\mathrm{n}}^{-1+2\mathrm{a}}=1 , -1+2\mathrm{a}=0\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ },\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{a}=\mathrm{ }{\displaystyle \frac{1}{2}}$$

(54)

Additionally, both the positive and negative values of b can be used in equations 9 and 10.

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{{\left(-1\right)}^{\mathrm{n}+1}\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}.\cos \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=0\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ },\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(-1\right)}^{\mathrm{n}+1}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}.\cos \left[(-\mathrm{b})\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=0$$

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{{\left(-1\right)}^{\mathrm{n}+1}\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}.\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=0\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ },\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(-1\right)}^{\mathrm{n}+1}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}.\sin \left[(-\mathrm{b})\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=0\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

Therefore, both $\mathrm{b}$ and -b are valid for the function. The general solution to the equation will be$\mathrm{s}={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{ }\pm \mathrm{i}\mathrm{b}$.

If we repeat this entire process with relation 1, we will obtain the same result with slight changes in the details (Shown in Appendix A).

2.3.4. Determining the Value of “b”

We start from Equation 2 to prove that the relation between the zeta function and prime numbers (Euler's relation) is true for $\mathrm{R}\mathrm{e}\left(\mathrm{s}\right)$>0.

$$\left(1-{\displaystyle \frac{2}{2^{\mathrm{s}}}}\right)\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{{\left(-1\right)}^{\mathrm{n}+1}\mathrm{n}}^{-\mathrm{s}} ,\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{R}\mathrm{e}\left(\mathrm{s}\right)>0\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

$$\left(1-{\displaystyle \frac{2}{2^{\mathrm{s}}}}\right)\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{{\left(-1\right)}^{\mathrm{n}+1}\mathrm{n}}^{-\mathrm{s}}={\displaystyle \frac{1}{1^{\mathrm{s}}}}-{\displaystyle \frac{1}{2^{\mathrm{s}}}}+{\displaystyle \frac{1}{3^{\mathrm{s}}}}-{\displaystyle \frac{1}{4^{\mathrm{s}}}}+{\displaystyle \frac{1}{5^{\mathrm{s}}}}-{\displaystyle \frac{1}{6^{\mathrm{s}}}}+{\displaystyle \frac{1}{7^{\mathrm{s}}}}-{\displaystyle \frac{1}{8^{\mathrm{s}}}}+{\displaystyle \frac{1}{9^{\mathrm{s}}}}-\dots$$

$$\left({\displaystyle \frac{1}{2^{\mathrm{s}}}}\right)\left(1-{\displaystyle \frac{2}{2^{\mathrm{s}}}}\right)\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)={\displaystyle \frac{1}{2^{\mathrm{s}}}}-{\displaystyle \frac{1}{4^{\mathrm{s}}}}+{\displaystyle \frac{1}{6^{\mathrm{s}}}}-{\displaystyle \frac{1}{8^{\mathrm{s}}}}+{\displaystyle \frac{1}{{10}^{\mathrm{s}}}}-{\displaystyle \frac{1}{{12}^{\mathrm{s}}}}+{\displaystyle \frac{1}{{14}^{\mathrm{s}}}}-{\displaystyle \frac{1}{{16}^{\mathrm{s}}}}+{\displaystyle \frac{1}{{18}^{\mathrm{s}}}}-\dots$$

$$\left(1-{\displaystyle \frac{1}{2^{\mathrm{s}}}}\right)\left(1-{\displaystyle \frac{2}{2^{\mathrm{s}}}}\right)\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)=1-{\displaystyle \frac{2}{2^{\mathrm{s}}}}+{\displaystyle \frac{1}{3^{\mathrm{s}}}}+{\displaystyle \frac{1}{5^{\mathrm{s}}}}-{\displaystyle \frac{2}{6^{\mathrm{s}}}}+{\displaystyle \frac{1}{7^{\mathrm{s}}}}+{\displaystyle \frac{1}{9^{\mathrm{s}}}}-{\displaystyle \frac{2}{{10}^{\mathrm{s}}}}+{\displaystyle \frac{1}{{11}^{\mathrm{s}}}}+{\displaystyle \frac{1}{{13}^{\mathrm{s}}}}-{\displaystyle \frac{2}{{14}^{\mathrm{s}}}}+{\displaystyle \frac{1}{{15}^{\mathrm{s}}}}+{\displaystyle \frac{1}{{17}^{\mathrm{s}}}}-{\displaystyle \frac{2}{{18}^{\mathrm{s}}}}+{\displaystyle \frac{1}{{19}^{\mathrm{s}}}}+\dots$$

$$\left({\displaystyle \frac{1}{3^{\mathrm{s}}}}\right)\left(1-{\displaystyle \frac{1}{2^{\mathrm{s}}}}\right)\left(1-{\displaystyle \frac{2}{2^{\mathrm{s}}}}\right)\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)={\displaystyle \frac{1}{3^{\mathrm{s}}}}-{\displaystyle \frac{2}{6^{\mathrm{s}}}}+{\displaystyle \frac{1}{9^{\mathrm{s}}}}+{\displaystyle \frac{1}{{15}^{\mathrm{s}}}}-{\displaystyle \frac{2}{{18}^{\mathrm{s}}}}+{\displaystyle \frac{1}{{21}^{\mathrm{s}}}}+{\displaystyle \frac{1}{{27}^{\mathrm{s}}}}-{\displaystyle \frac{2}{{30}^{\mathrm{s}}}}+{\displaystyle \frac{1}{{33}^{\mathrm{s}}}}+{\displaystyle \frac{1}{{39}^{\mathrm{s}}}}-\dots$$

$$\left(1-{\displaystyle \frac{1}{3^{\mathrm{s}}}}\right)\left(1-{\displaystyle \frac{1}{2^{\mathrm{s}}}}\right)\left(1-{\displaystyle \frac{2}{2^{\mathrm{s}}}}\right)\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)=1-{\displaystyle \frac{2}{2^{\mathrm{s}}}}+{\displaystyle \frac{1}{5^{\mathrm{s}}}}+{\displaystyle \frac{1}{7^{\mathrm{s}}}}-{\displaystyle \frac{2}{{10}^{\mathrm{s}}}}+{\displaystyle \frac{1}{{11}^{\mathrm{s}}}}+{\displaystyle \frac{1}{{13}^{\mathrm{s}}}}-{\displaystyle \frac{2}{{14}^{\mathrm{s}}}}+{\displaystyle \frac{1}{{17}^{\mathrm{s}}}}+{\displaystyle \frac{1}{{19}^{\mathrm{s}}}}-{\displaystyle \frac{2}{{22}^{\mathrm{s}}}}+{\displaystyle \frac{1}{{23}^{\mathrm{s}}}}+\dots$$

$$\left(1-{\displaystyle \frac{1}{5^{\mathrm{s}}}}\right)\left(1-{\displaystyle \frac{1}{3^{\mathrm{s}}}}\right)\left(1-{\displaystyle \frac{1}{2^{\mathrm{s}}}}\right)\left(1-{\displaystyle \frac{2}{2^{\mathrm{s}}}}\right)\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)=1-{\displaystyle \frac{2}{2^{\mathrm{s}}}}+{\displaystyle \frac{1}{7^{\mathrm{s}}}}+{\displaystyle \frac{1}{{11}^{\mathrm{s}}}}+{\displaystyle \frac{1}{{13}^{\mathrm{s}}}}-{\displaystyle \frac{2}{{14}^{\mathrm{s}}}}+{\displaystyle \frac{1}{{17}^{\mathrm{s}}}}+{\displaystyle \frac{1}{{19}^{\mathrm{s}}}}-{\displaystyle \frac{2}{{22}^{\mathrm{s}}}}+{\displaystyle \frac{1}{{23}^{\mathrm{s}}}}+\dots$$

$$\left(1-{\displaystyle \frac{1}{7^{\mathrm{s}}}}\right)\left(1-{\displaystyle \frac{1}{5^{\mathrm{s}}}}\right)\left(1-{\displaystyle \frac{1}{3^{\mathrm{s}}}}\right)\left(1-{\displaystyle \frac{1}{2^{\mathrm{s}}}}\right)\left(1-{\displaystyle \frac{2}{2^{\mathrm{s}}}}\right)\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)=1-{\displaystyle \frac{2}{2^{\mathrm{s}}}}+{\displaystyle \frac{1}{{11}^{\mathrm{s}}}}+{\displaystyle \frac{1}{{13}^{\mathrm{s}}}}+{\displaystyle \frac{1}{{17}^{\mathrm{s}}}}+{\displaystyle \frac{1}{{19}^{\mathrm{s}}}}-{\displaystyle \frac{2}{{22}^{\mathrm{s}}}}+{\displaystyle \frac{1}{{23}^{\mathrm{s}}}}+\dots$$

$$\left(1-{\displaystyle \frac{1}{{11}^{\mathrm{s}}}}\right)\left(1-{\displaystyle \frac{1}{7^{\mathrm{s}}}}\right)\left(1-{\displaystyle \frac{1}{5^{\mathrm{s}}}}\right)\left(1-{\displaystyle \frac{1}{3^{\mathrm{s}}}}\right)\left(1-{\displaystyle \frac{1}{2^{\mathrm{s}}}}\right)\left(1-{\displaystyle \frac{2}{2^{\mathrm{s}}}}\right)\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)=1-{\displaystyle \frac{2}{2^{\mathrm{s}}}}+{\displaystyle \frac{1}{{13}^{\mathrm{s}}}}+{\displaystyle \frac{1}{{17}^{\mathrm{s}}}}+{\displaystyle \frac{1}{{19}^{\mathrm{s}}}}+{\displaystyle \frac{1}{{23}^{\mathrm{s}}}}+\dots$$

$$\dots \left(1-{\displaystyle \frac{1}{{13}^{\mathrm{s}}}}\right)\left(1-{\displaystyle \frac{1}{{11}^{\mathrm{s}}}}\right)\left(1-{\displaystyle \frac{1}{7^{\mathrm{s}}}}\right)\left(1-{\displaystyle \frac{1}{5^{\mathrm{s}}}}\right)\left(1-{\displaystyle \frac{1}{3^{\mathrm{s}}}}\right)\left(1-{\displaystyle \frac{1}{2^{\mathrm{s}}}}\right)\left(1-{\displaystyle \frac{2}{2^{\mathrm{s}}}}\right)\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)=\left(1-{\displaystyle \frac{2}{2^{\mathrm{s}}}}\right)$$

$\left(1-{\displaystyle \frac{2}{2^{\mathrm{s}}}}\right)\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{n}\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{ }\mathrm{r}\mathrm{e}\mathrm{m}\mathrm{o}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{d}\mathrm{ }\mathrm{f}\mathrm{r}\mathrm{o}\mathrm{m}\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{o}\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{ }\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{d}\mathrm{e}\mathrm{s}\mathrm{ }\mathrm{o}\mathrm{f}\mathrm{ }\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{ }\mathrm{a}\mathrm{b}\mathrm{o}\mathrm{v}\mathrm{e}\mathrm{ }\mathrm{e}\mathrm{q}\mathrm{u}\mathrm{a}\mathrm{t}\mathrm{i}\mathrm{o}\mathrm{n}\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{e}\mathrm{c}\mathrm{a}\mathrm{u}\mathrm{s}\mathrm{e}\mathrm{ }\left(1-{\displaystyle \frac{2}{2^{\mathrm{s}}}}\right)\ne 0$. So we will have:

$$\dots \left(1-{\displaystyle \frac{1}{{13}^{\mathrm{s}}}}\right)\left(1-{\displaystyle \frac{1}{{11}^{\mathrm{s}}}}\right)\left(1-{\displaystyle \frac{1}{7^{\mathrm{s}}}}\right)\left(1-{\displaystyle \frac{1}{5^{\mathrm{s}}}}\right)\left(1-{\displaystyle \frac{1}{3^{\mathrm{s}}}}\right)\left(1-{\displaystyle \frac{1}{2^{\mathrm{s}}}}\right)\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)=1$$

$$\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)={\displaystyle \frac{1}{\left(1-\frac{1}{2^{\mathrm{s}}}\right)}}.{\displaystyle \frac{1}{\left(1-\frac{1}{3^{\mathrm{s}}}\right)}}.{\displaystyle \frac{1}{\left(1-\frac{1}{5^{\mathrm{s}}}\right)}}.{\displaystyle \frac{1}{\left(1-\frac{1}{7^{\mathrm{s}}}\right)}}.{\displaystyle \frac{1}{\left(1-\frac{1}{{11}^{\mathrm{s}}}\right)}}.{\displaystyle \frac{1}{\left(1-\frac{1}{{13}^{\mathrm{s}}}\right)}}\dots =\prod \left({\displaystyle \frac{1}{1-\frac{1}{{\mathrm{P}}^{\mathrm{S}}}}}\right)\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ } ,\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{R}\mathrm{e}\left(\mathrm{s}\right)>0\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

$$\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{s}}=\prod \left({\displaystyle \frac{1}{1-\frac{1}{{\mathrm{P}}^{\mathrm{S}}}}}\right)\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ } , s={\displaystyle \frac{1}{2}}+\mathrm{i}\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

$$\prod \left({\displaystyle \frac{1}{1-\frac{1}{{\mathrm{P}}^{\mathrm{S}}}}}\right)\mathrm{ }={\displaystyle \frac{1}{1-\frac{1}{{\mathrm{P}}^{\mathrm{S}}}}}={\displaystyle \frac{{\mathrm{P}}^{\mathrm{S}}}{{\mathrm{P}}^{\mathrm{S}}-1}}={\displaystyle \frac{{\mathrm{P}}^{\frac{1}{2}+\mathrm{i}\mathrm{b}}}{{\mathrm{P}}^{\frac{1}{2}+\mathrm{i}\mathrm{b}}-1}}={\displaystyle \frac{{\mathrm{P}}^{\mathrm{i}\mathrm{b}}}{{\mathrm{P}}^{\mathrm{i}\mathrm{b}}-\frac{1}{\sqrt{\mathrm{P}}}}}$$

$${\mathrm{P}}^{\mathrm{i}\mathrm{b}}={\mathrm{e}}^{\mathrm{l}\mathrm{n}\left({\mathrm{P}}^{\mathrm{i}\mathrm{b}}\right)}={\mathrm{e}}^{\mathrm{i}\mathrm{b}.\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)}=\cos \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right]+\mathrm{i}\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right]$$

$${\displaystyle \frac{{\mathrm{P}}^{\mathrm{i}\mathrm{b}}}{{\mathrm{P}}^{\mathrm{i}\mathrm{b}}-\frac{1}{\sqrt{\mathrm{P}}}}}={\displaystyle \frac{\left(1-\frac{\cos \left(\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right)}{\sqrt{\mathrm{P}}}\mathrm{ }\right)+i\left(-\frac{\sin \left(\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right)}{\sqrt{\mathrm{P}}}\mathrm{ }\right)}{\left(1+\frac{1}{\mathrm{P}}-\frac{2\cos \left(\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right)}{\sqrt{\mathrm{P}}}\mathrm{ }\right)}}$$

(55)

To determine the root of the equation, we set the value of $\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)$ equal to zero and simplify the equation.

$$\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{s}}=\prod \left({\displaystyle \frac{1}{1-\frac{1}{\mathrm{p}\mathrm{s}}}}\right)=\mathrm{ }\prod \left({\displaystyle \frac{\left(1-\frac{\cos \left(\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right)}{\sqrt{\mathrm{P}}}\mathrm{ }\right)-i\left(\frac{\sin \left(\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right)}{\sqrt{\mathrm{P}}}\mathrm{ }\right)}{(1+\frac{1}{\mathrm{P}}-\frac{2\cos \left(\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right)}{\sqrt{\mathrm{P}}}\mathrm{ })}}\right)=0\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

(56)

When solving the equation, terms with a factor of ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mathrm{P}}}}$are placed on the left, while the remaining terms with a factor of one are placed on the right. Expressions that involve the multiplication of multiple primes in the denominator of the fraction are ignored with high confidence, compared to expressions that have only one prime in the denominator. The complete proof of the relationship between prime numbers and the generalized zeta function is given in Appendix B.

Therefore, the final form of the equation will be as follows.

$$\sum _{\mathrm{P}=2}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mathrm{P}}}}.\cos \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right]+i\sum _{\mathrm{P}=2}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mathrm{P}}}}.\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right]\mathrm{ }=1\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

(57)

$$\sum _{\mathrm{P}=2}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mathrm{P}}}}.\cos \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right]=1\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ },\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\sum _{\mathrm{P}=2}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mathrm{P}}}}.\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right]=0$$

(58)

2.2.5. Results

The correctness of Riemann's hypothesis has been proven by accurately determining that a=1/2. The real part of every nontrivial zero of the Riemann zeta function is Re(s) =$1/2.\mathrm{ }\mathrm{ }$Thus, the hypothesis is correct, and all the nontrivial zeros lie on the critical line consisting of the complex numbers a$\pm$ib, where a=$1/2$is a real number and b is the imaginary number.

In general, the following relationships hold for the zeta function.

$$\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)=0\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{n}:\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{R}\mathrm{e}\left[\left(1-{\displaystyle \frac{2}{2^{\mathrm{s}}}}\right)\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)\right]=0\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ },\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{I}\mathrm{m}\left[\left(1-{\displaystyle \frac{2}{2^{\mathrm{s}}}}\right)\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)\right]=0 , \mathrm{s}=\mathrm{ }\mathrm{a}+\mathrm{i}\mathrm{b}$$

$$\mathrm{a}={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ },\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{b}=\mathrm{U}\mathrm{n}\mathrm{k}\mathrm{n}\mathrm{o}\mathrm{w}\mathrm{n}\mathrm{ }$$

$$\mathrm{R}\mathrm{e}\left[\left(1-{\displaystyle \frac{2}{2^{\mathrm{s}}}}\right)\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)\right]=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{(-1)}^{\mathrm{n}+1}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}.\cos \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

$$\mathrm{I}\mathrm{m}\left[\left(1-{\displaystyle \frac{2}{2^{\mathrm{s}}}}\right)\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)\right]=-\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\left(-1\right)}^{\mathrm{n}+1}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}.\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{{(-1)}^{\mathrm{n}+1}}{\sqrt{\mathrm{n}}}}.\cos \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]-i\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{{(-1)}^{\mathrm{n}+1}}{\sqrt{\mathrm{n}}}}.\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]\mathrm{ }=0\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{{(-1)}^{\mathrm{n}+1}}{\sqrt{\mathrm{n}}}}.\cos \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=0\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ },\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{{(-1)}^{\mathrm{n}+1}}{\sqrt{\mathrm{n}}}}.\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=0$$

$$\sum _{\mathrm{P}=2}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mathrm{P}}}}.\cos \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right]+i\sum _{\mathrm{P}=2}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mathrm{P}}}}.\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right]\mathrm{ }=1\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

$$\sum _{\mathrm{P}=2}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mathrm{P}}}}.\cos \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right]=1\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ },\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\sum _{\mathrm{P}=2}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mathrm{P}}}}.\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right]=0$$

3. The Generator Function of Prime Numbers

First, we set the value of the original zeta function to 1. Using the trigonometric relationship, we convert it into a complex form and consider the real part as 1 and the imaginary part as 0. By summing the two real and imaginary components, we reach a value of a = 1/2.To find b’, we utilize the multiplicative form of prime numbers and set the value to 1 resulting in a new sinusoidal form of the real and imaginary parts which includes two parameters b’ and P. In this case, the amplitude of the zeta function is 1. With the correct assumption, the true value can be considered equal to the cosine of the arbitrary angle theta, and its imaginary part equal to the sine of the same angle. By using the relationship between the sine and cosine of the theta angle and solving the resulting equation, we obtained a correct relationship between b’ and the prime number corresponding to it.

The Riemann zeta function can be expressed in the following form for complex s.ζ ( s ) = ∑ n = 1 ∞ 1 n s = 1 1 s + 1 2 s + 1 3 s + ⋯

$$\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{s}}=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{n}}^{-\left(\mathrm{a}+\mathrm{i}\mathrm{b}\right)}=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}.{\mathrm{n}}^{-\mathrm{i}\mathrm{b}}\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

(59)

$$\mathrm{s}=\mathrm{ }\mathrm{a}+\mathrm{i}\mathrm{b}$$

By utilizing the trigonometric relationship provided, we are able to convert the shape of Riemann’s zeta function from complex to sinusoidal form.        

$$\mathrm{e} {\mathrm{i}}^{\mathsf{\theta }}=\cos \left(\mathsf{\theta }\right)+i \sin \left(\mathsf{\theta }\right)\mathrm{ }$$

$${\mathrm{n}}^{-\mathrm{i}\mathrm{b}}={\mathrm{e}}^{\mathrm{l}\mathrm{n}\left({\mathrm{n}}^{-\mathrm{i}\mathrm{b}}\right)}={\mathrm{e}}^{-\mathrm{i}\mathrm{b}.\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)}=\cos \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]-i\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]\mathrm{ }$$

$$\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}.{\mathrm{n}}^{-\mathrm{i}\mathrm{b}}=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}\left\{{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}.\cos \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]-i{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}.\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]\right\}$$

$$\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}.\cos \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]-i\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}.\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

3.1. Determining the Value of a’

$$\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)=1\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{n}:\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{R}\mathrm{e}\left[\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)\right]=1\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ },\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{I}\mathrm{m}\left[\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)\right]=0\text{, s' = a' + ib’}$$

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}\mathrm{\text{'}}}.\cos \left[\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]-\mathrm{i}\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}\mathrm{\text{'}}}.\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=1\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

(60)

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{n}}^{-{\mathrm{a}}^{\mathrm{\text{'}}}}.\cos \left[{\mathrm{b}}^{\mathrm{\text{'}}}\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=1\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ },\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{n}}^{-{\mathrm{a}}^{\mathrm{\text{'}}}}.\sin \left[{\mathrm{b}}^{\mathrm{\text{'}}}\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=0\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\left(61\mathrm{a},61\mathrm{b}\right)$$

We multiply both equations 61a and 61b by $\cos \left(\mathsf{\theta }\right)$ and $\sin \left(\mathsf{\theta }\right)$respectively, and then add them together.

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}\mathrm{\text{'}}}.\cos \left(\mathsf{\theta }\right).\cos \left[\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=\cos \left(\mathsf{\theta }\right)\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}\mathrm{\text{'}}}.\sin \left(\mathsf{\theta }\right).\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=0\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}\mathrm{\text{'}}}.\{\cos \left(\mathsf{\theta }\right).\cos \left[\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]+\sin \left(\mathsf{\theta }\right).\sin \left[\mathrm{b\text{'}\; ln}\left(\mathrm{n}\right)\right]\}=\cos \left(\mathsf{\theta }\right)\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}\mathrm{\text{'}}}.\cos \left[\mathsf{\theta }-\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=\cos \left(\mathsf{\theta }\right) \mathrm{ }$$

(62)

$$\mathrm{I}\mathrm{f}\mathrm{ }:\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathsf{\theta }={\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{T}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{n}:\mathrm{ } \sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}\mathrm{\text{'}}}.\cos \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

(63)

We add the two relations 61a and 61b together to obtain relation 63.

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}\mathrm{\text{'}}}.\cos \left[\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}\mathrm{\text{'}}}.\sin \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{2}}-\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=1$$

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}\mathrm{\text{'}}}.\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=0$$

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a\text{'}}}.\sin \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{2}}-\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]+\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}}.\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=1$$

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}\mathrm{\text{'}}}.\{\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]+\sin \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{2}}-\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]\}=1\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

(64)

By expanding equation 64 using the trigonometric relation, we obtain equation 61.

$$\sin \mathsf{\alpha }+\mathrm{s}\mathrm{i}\mathrm{n}\mathsf{\beta }=2\sin {\displaystyle \frac{\mathsf{\alpha }+\mathsf{\beta }}{2}}.\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}{\displaystyle \frac{\mathsf{\alpha }-\mathsf{\beta }}{2}}$$

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}\mathrm{\text{'}}}.\{\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]+\sin \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{2}}-\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]\}=2\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}\mathrm{\text{'}}}.\sin \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}\right].\cos \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=$$

$$\sqrt{2}\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}\mathrm{\text{'}}}.\cos \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-{\mathrm{b}}^{\mathrm{\text{'}}}\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=1$$

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}\mathrm{\text{'}}}.\cos \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$$

$$1^{-\mathbf{a}\mathbf{\text{'}}}.\cos \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-{\mathrm{b}}^{\mathrm{\text{'}}}\mathrm{l}\mathrm{n}\left(1\right)\right]+\mathrm{ }{2}^{-\mathbf{a\text{'}}}.\mathrm{ }\cos \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{b\text{'}\; ln}\left(2\right)\right]+3^{-\mathbf{a\text{'}}}.\mathrm{ }\cos \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{b\text{'}\; ln}\left(3\right)\right]+\dots {+\mathbf{n}}^{-\mathbf{a}\mathbf{\text{'}}}.\mathrm{ }\cos \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-{\mathrm{b}}^{\mathrm{\text{'}}}\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]= {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$$

$${\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}+\mathrm{ }{2}^{-{\mathrm{a}}^{\mathrm{\text{'}}}}.\mathrm{ }\cos \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-{\mathrm{b}}^{\mathrm{\text{'}}}\ln \left(2\right)\right]+3^{-{\mathrm{a}}^{\mathrm{\text{'}}}}.\mathrm{ }\cos \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-{\mathrm{b}}^{\mathrm{\text{'}}}\ln \left(3\right)\right]+\mathrm{ }\dots {+\mathrm{n}}^{-{\mathrm{a}}^{\mathrm{\text{'}}}}.\mathrm{ }\cos \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-{\mathrm{b}}^{\mathrm{\text{'}}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=\mathrm{ }{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

(65)

In the second sentence of relation 65, we make a small change because -1+1 equals 0.

$$\mathrm{ }{{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}+2}^{-\mathbf{a\text{'}}}\left\{-1+1+\cos \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{b\text{'}\; ln}\left(2\right)\right]\right\}+3^{-\mathbf{a\text{'}}}.\mathrm{ }\cos \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{b\text{'}\; ln}\left(3\right)\right]+\dots {+\mathbf{n}}^{-\mathbf{a}\mathbf{\text{'}}}.\mathrm{ }\cos \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-{\mathrm{b}}^{\mathrm{\text{'}}}\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]= {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$$

$$1=\sqrt{2} \text{{}{1}^{-\mathbf{a}\mathbf{\text{'}}}.\cos [{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(1\right)]\}$$

(66)

With the use of 66, we will have it.

$$\text{{}{\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}-2^{-\mathrm{a}\mathrm{\text{'}}}\}+\text{{}{(2}^{-\mathrm{a}}\text{'}.\sqrt{2}).1^{-\mathbf{a}\mathbf{\text{'}}}.\cos [{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(1\right)]\}+\mathbf{}{2}^{-\mathbf{a}\mathbf{\text{'}}}.\left\{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(2\right)\right]\right\}+3^{-\mathbf{a}\mathbf{\text{'}}}\left\{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(3\right)\right]\right\}\text{+…}$$

$$+\mathbf{}{\mathbf{n}}^{-{\mathbf{a}}^{\mathbf{\text{'}}}}.\left\{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }{\mathrm{b}}^{\mathrm{\text{'}}}\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]\right\}={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}$$

(67)

Once we have defined the relationships, we can revisit the function, which is similar to relation #59.

If the expression$({\displaystyle \frac{1}{\sqrt{2}}}$-$2^{-\mathrm{a}})$ is equal to zero and the expression ($2^{-\mathrm{a}}.\sqrt{2}$) is equal to one, then Relation 67 becomes similar to Relation 63.

$$1^{-\mathbf{a}\mathbf{\text{'}}}.\cos [{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(1\right)]\}+\mathbf{}{2}^{-\mathbf{a}\mathbf{\text{'}}}.\left\{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(2\right)\right]\right\}+3^{-\mathbf{a}\mathbf{\text{'}}}\left\{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(3\right)\right]\right\}\text{+…}$$

$$+\mathbf{}{\mathbf{n}}^{-\mathbf{a}\mathbf{\text{'}}}.\left\{\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{ }\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]\right\}=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}\mathrm{\text{'}}}.\cos \left[{\displaystyle \frac{\mathsf{\pi }}{4}}-\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]={\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

(68)

$$\mathrm{Therefore}, {\displaystyle \frac{\sqrt{2}}{2}}-2^{-\mathrm{a}\mathrm{\text{'}}}=0 \mathrm{and} 2^{-\mathrm{a}\mathrm{\text{'}}}\mathrm{ }.\sqrt{2}=1 , \mathrm{then}\text{:} \mathrm{a}\text{’}={\displaystyle \frac{1}{2}}$$

(69)

Additionally, both the positive and negative values of b can be applied in equations 61.

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}\mathrm{\text{'}}}.\cos \left[\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=1\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ },\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}\mathrm{\text{'}}}.\cos \left[(-\mathrm{b}\mathrm{\text{'}})\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=1$$

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}\mathrm{\text{'}}}.\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=0\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ },\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{a}\mathrm{\text{'}}}.\sin \left[(-\mathrm{b}\mathrm{\text{'}})\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=0\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

Therefore, both $\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}$ and -b’ are valid for the function. The general solution to the equation will be ${\mathrm{s}}^{\mathrm{\text{'}}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\pm {\mathrm{i}\mathrm{b}}^{\mathrm{\text{'}}}.$

By substituting a =1/2, relations 60 and 61 are transformed into the following relations. Then by numerically solving the equation, we can determine the values of b’.

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mathrm{n}}}}.\cos \left[\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]-i\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mathrm{n}}}}.\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=1\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

(70)

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mathrm{n}}}}.\cos \left[\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=1\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ },\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }-\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mathrm{n}}}}.\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=0\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

(71)

Similar to the proof presented in Section 2.2.4, the relation of prime numbers with the generalized zeta function is given in Appendix C.

$$\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{s}}=\prod \left({\displaystyle \frac{1}{1-\frac{1}{{\mathrm{P}}^{\mathrm{S}}}}}\right)\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ } , s^{\text{'}}={\displaystyle \frac{1}{2}}+{\mathrm{i}\mathrm{b}}^{\mathrm{\text{'}}}\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

(72)

$$\prod \left({\displaystyle \frac{1}{1-\frac{1}{{\mathrm{P}}^{\mathrm{S}}}}}\right)\mathrm{ }={\displaystyle \frac{1}{1-\frac{1}{{\mathrm{P}}^{\mathrm{S}}}}}={\displaystyle \frac{{\mathrm{P}}^{\mathrm{S}}}{{\mathrm{P}}^{\mathrm{S}}-1}}={\displaystyle \frac{{\mathrm{P}}^{\frac{1}{2}+\mathrm{i}\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}}}{{\mathrm{P}}^{\frac{1}{2}+\mathrm{i}\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}}-1}}={\displaystyle \frac{{\mathrm{P}}^{\mathrm{i}\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}}}{{\mathrm{P}}^{\mathrm{i}\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}}-\frac{1}{\sqrt{\mathrm{P}}}}}\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

$$\mathrm{ }\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{s}}=\prod \left({\displaystyle \frac{1}{1-\frac{1}{\mathrm{p}\mathrm{s}}}}\right)=\mathrm{ }\prod \begin{array}{c}\left({\displaystyle \frac{\left(1-\frac{\cos \left({\mathrm{b}}^{\text{'}}\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right)}{\sqrt{\mathrm{P}}}\mathrm{ }\right)-i\left(\frac{\sin \left({\mathrm{b}}^{\text{'}}\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right)}{\sqrt{\mathrm{P}}}\mathrm{ }\right)}{\left(1+\frac{1}{\mathrm{P}}-\frac{2\cos \left({\mathrm{b}}^{\text{'}}\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right)}{\sqrt{\mathrm{P}}}\mathrm{ }\right)}}\right)=1 \\ \end{array}$$

(73)

When solving the equation, terms with a factor of ${\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mathrm{P}}}}$ are placed on the left, while the remaining terms with a factor of one are placed on the right. Expressions that involve the multiplication of multiple primes in the denominator of the fraction are ignored with high confidence, compared to expressions that have only one prime in the denominator.

Therefore, the final form of the equation will be as follows.

$$\sum _{\mathrm{P}=2}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mathrm{P}}}}\cos \left({\mathrm{b}}^{\text{'}}\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right)-i\sum _{\mathrm{P}=2}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mathrm{P}}}}\sin \left({\mathrm{b}}^{\text{'}}\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right)\mathrm{ }=0\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ } \mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

(74)

$$\sum _{\mathrm{P}=2}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mathrm{P}}}}\cos \left({\mathrm{b}}^{\text{'}}\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right)=0\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ },\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }-\sum _{\mathrm{P}=2}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mathrm{P}}}}\sin \left({\mathrm{b}}^{\text{'}}\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right)=0$$

3.2. Definition of the Generating Function of Prime Numbers

The real and imaginary components of equation 69 can be thought of as the cosine and sine of a trigonometric angle.

$$\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)=\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\mathrm{n}}^{-\mathrm{s}}=\prod \left({\displaystyle \frac{1}{1-\frac{1}{\mathrm{p}\mathrm{s}}}}\right)=\mathrm{ }\prod \left({\displaystyle \frac{\left(1-\frac{\cos \left({\mathrm{b}}^{\text{'}}\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right)}{\sqrt{\mathrm{P}}}\mathrm{ }\right)-i\left(\frac{\sin \left({\mathrm{b}}^{\text{'}}\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right)}{\sqrt{\mathrm{P}}}\mathrm{ }\right)}{\left(1+\frac{1}{\mathrm{P}}-\frac{2\cos \left({\mathrm{b}}^{\mathrm{\text{'}}}\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right)}{\sqrt{\mathrm{P}}}\mathrm{ }\right)}}\right)=1\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

(75)

$$\mathrm{ }\mathrm{If\; cos}\left[2\mathsf{\pi }-\mathsf{\theta }\mathrm{p}\right]={\displaystyle \frac{\left(1-\frac{\cos \left(\mathrm{b}\text{'}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right)}{\sqrt{\mathrm{P}}}\mathrm{ }\right)}{\left(1+\frac{1}{\mathrm{P}}-\frac{2\cos \left(\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right)}{\sqrt{\mathrm{P}}}\mathrm{ }\right)}} ,\mathrm{T}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{n}: \sin \left[2\mathsf{\pi }-\mathsf{\theta }\mathrm{p}\right]=\sqrt{1-\mathrm{co}{\mathrm{s}}^2\left(2\mathsf{\pi }-\mathsf{\theta }\mathrm{p}\right)}$$

$$\sin \left[2\mathsf{\pi }-\mathsf{\theta }\mathrm{p}\right]=\sqrt{1-\{{\displaystyle \frac{\left(1-\frac{\cos \left({\mathrm{b}}^{\mathrm{\text{'}}}\ln \left(\mathrm{P}\right)\right)}{\sqrt{\mathrm{P}}}\mathrm{ }\right)}{\left(1+\frac{1}{\mathrm{P}}-\frac{2\cos \left({\mathrm{b}}^{\mathrm{\text{'}}}\ln \left(\mathrm{P}\right)\right)}{\sqrt{\mathrm{P}}}\mathrm{ }\right)}}{\}}^2}=\sqrt{{\displaystyle \frac{\frac{1}{\mathrm{P}}\left(1-\mathrm{co}{\mathrm{s}}^2\left({\mathrm{b}}^{\mathrm{\text{'}}}\ln \left(\mathrm{P}\right)\right)\mathrm{ }\right)}{(1+\frac{1}{\mathrm{P}}-\frac{2\cos \left({\mathrm{b}}^{\mathrm{\text{'}}}\ln \left(\mathrm{P}\right)\right)}{\sqrt{\mathrm{P}}}\mathrm{ }{)}^2}}=} {\displaystyle \frac{\left(\frac{\sin \left({\mathrm{b}}^{\mathrm{\text{'}}}\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right)}{\sqrt{\mathrm{P}}}\mathrm{ }\right)}{\left(1+\frac{1}{\mathrm{P}}-\frac{2\cos \left({\mathrm{b}}^{\mathrm{\text{'}}}\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right)}{\sqrt{\mathrm{P}}}\mathrm{ }\right)}}$$

$$2\mathsf{\pi }-\mathsf{\theta }\mathrm{p}=\mathrm{c}\mathrm{o}{\mathrm{s}}^{-1}\left({\displaystyle \frac{\left(1-\frac{\cos \left(\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right)}{\sqrt{\mathrm{P}}}\mathrm{ }\right)}{(1+\frac{1}{\mathrm{P}}-\frac{2\cos \left(\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right)}{\sqrt{\mathrm{P}}}\mathrm{ })}}\right) ,or 2\mathsf{\pi }-\mathsf{\theta }\mathrm{p}=\mathrm{s}\mathrm{i}{\mathrm{n}}^{-1}\left({\displaystyle \frac{\left(\frac{\sin \left(\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right)}{\sqrt{\mathrm{P}}}\mathrm{ }\right)}{(1+\frac{1}{\mathrm{P}}-\frac{2\cos \left(\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right)}{\sqrt{\mathrm{P}}}\mathrm{ })}}\right)$$

We can use the trigonometric relationship of the sum of the squares of sine and cosine to then obtain an independent relationship between b’ and the prime number.

$$\mathrm{co}{\mathrm{s}}^2\left(2\mathsf{\pi }-\mathsf{\theta }\mathrm{p}\right)+\mathrm{si}{\mathrm{n}}^2\left(2\mathsf{\pi }-\mathsf{\theta }\mathrm{p}\right)=1 , {\displaystyle \frac{{\left(1-\frac{\cos \left(\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right)}{\sqrt{\mathrm{P}}}\mathrm{ }\right)}^2}{{\left(1+\frac{1}{\mathrm{P}}-\frac{2\cos \left(\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right)}{\sqrt{\mathrm{P}}}\mathrm{ }\right)}^2}}+{\displaystyle \frac{{\left(\frac{\sin \left(\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right)}{\sqrt{\mathrm{P}}}\mathrm{ }\right)}^2}{{\left(1+\frac{1}{\mathrm{P}}-\frac{2\cos \left(\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right)}{\sqrt{\mathrm{P}}}\mathrm{ }\right)}^2}}=1$$

$${\displaystyle \frac{\left(1-\frac{2\cos \left(\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right)}{\sqrt{\mathrm{P}}}+\frac{\mathrm{co}{\mathrm{s}}^2\left(\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right)}{\mathrm{P}}\right)}{{\left(1+\frac{1}{\mathrm{P}}-\frac{2\cos \left(\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right)}{\sqrt{\mathrm{P}}}\mathrm{ }\right)}^2}}+{\displaystyle \frac{\left(\frac{{\sin }^2\left(\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right)}{\mathrm{P}}\mathrm{ }\right)}{{\left(1+\frac{1}{\mathrm{P}}-\frac{2\cos \left(\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right)}{\sqrt{\mathrm{P}}}\mathrm{ }\right)}^2}}=1$$

$${\displaystyle \frac{\left(1+\frac{1}{\mathrm{P}}-\frac{2\cos \left(\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right)}{\sqrt{\mathrm{P}}}\right)}{{\left(1+\frac{1}{\mathrm{P}}-\frac{2\cos \left(\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right)}{\sqrt{\mathrm{P}}}\mathrm{ }\right)}^2}}=1 , \left(1+{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{P}}}-{\displaystyle \frac{2\cos \left(\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right)}{\sqrt{\mathrm{P}}}}\right)={\left(1+{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{P}}}-{\displaystyle \frac{2\cos \left(\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right)}{\sqrt{\mathrm{P}}}}\mathrm{ }\right)}^2$$

$${\left(1+{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{P}}}-{\displaystyle \frac{2\cos \left(\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right)}{\sqrt{\mathrm{P}}}}\mathrm{ }\right)}^2-\left(1+{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{P}}}-{\displaystyle \frac{2\cos \left(\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right)}{\sqrt{\mathrm{P}}}}\right)=\left(1+{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{P}}}-{\displaystyle \frac{2\cos \left(\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right)}{\sqrt{\mathrm{P}}}}\right). \left({\displaystyle \frac{1}{\mathrm{P}}}-{\displaystyle \frac{2\cos \left(\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right)}{\sqrt{\mathrm{P}}}}\right)=0$$

$$1+{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{P}}}-{\displaystyle \frac{2\cos \left({\mathrm{b}}^{\mathrm{\text{'}}}\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right)}{\sqrt{\mathrm{P}}}}=0 , 1+{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{P}}}={\displaystyle \frac{2\cos \left(\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right)}{\sqrt{\mathrm{P}}}} , \cos \left(\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right)={\displaystyle \frac{\sqrt{\mathrm{P}}}{2}}.\left(1+{\displaystyle \frac{1}{\mathrm{P}}}\right)>1$$

$$\left({\displaystyle \frac{1}{\mathrm{P}}}-{\displaystyle \frac{2\cos \left({\mathrm{b}}^{\mathrm{\text{'}}}\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right)}{\sqrt{\mathrm{P}}}}\right)=0 , {\displaystyle \frac{1}{\mathrm{P}}}={\displaystyle \frac{2\cos \left({\mathrm{b}}^{\mathrm{\text{'}}}\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right)}{\sqrt{\mathrm{P}}}}$$

$$\cos \left({\mathrm{b}}^{\mathrm{\text{'}}}\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right)=\left({\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{\mathrm{P}}}}\right) , {\mathrm{b}}^{\mathrm{\text{'}}}\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)=\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left({\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{\mathrm{P}}}}\right)\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ },\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }{\mathrm{b}}^{\mathrm{\text{'}}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)}}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left({\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{\mathrm{P}}}}\right)\mathrm{ },\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\left|\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)\right|=1\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

(76)

3.4. Results

To find the values of b’, you can numerically solve equation 67 and then calculate the corresponding prime number using equation 76.

In general, the following relationships hold for the zeta function.

$$\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)=1\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{t}\mathrm{h}\mathrm{e}\mathrm{n}:\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{R}\mathrm{e}\left[\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)\right]=1\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ },\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{I}\mathrm{m}\left[\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)\right]=0\text{, s'= a' + i b’}$$

$${\mathrm{a}\mathrm{\text{'}}={\displaystyle \frac{1}{2}}\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ },\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{b}}^{\mathrm{\text{'}}}={\displaystyle \frac{1}{\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)}}\mathrm{a}\mathrm{r}\mathrm{c}\mathrm{c}\mathrm{o}\mathrm{s}\left({\displaystyle \frac{1}{2\sqrt{\mathrm{P}}}}\right)\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mathrm{n}}}}.\cos \left[\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]-i\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mathrm{n}}}}.\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]\mathrm{ }=1\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

$$\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mathrm{n}}}}.\cos \left[\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=1\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ },\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }-\sum _{\mathrm{n}=1}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mathrm{n}}}}.\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{n}\right)\right]=0$$

$$\sum _{\mathrm{P}=2}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mathrm{P}}}}.\cos \left[\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right]-i\sum _{\mathrm{P}=2}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mathrm{P}}}}.\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right]\mathrm{ }=0\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }$$

$$\sum _{\mathrm{P}=2}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mathrm{P}}}}.\cos \left[\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right]=0\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ },\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }\mathrm{ }-\sum _{\mathrm{P}=2}^{\mathrm{\infty }}{\displaystyle \frac{1}{\sqrt{\mathrm{P}}}}.\sin \left[\mathrm{b}\mathrm{\text{'}}\mathrm{ }\mathrm{l}\mathrm{n}\left(\mathrm{P}\right)\right]=0$$

4. Conclusions

In this article, we began by attempting to prove the Riemann hypothesis. We started by working with the initial form of the function and then transformed it into its complex form. To find the roots of the function’s real and imaginary values, we set it equal to zero. By considering s = a$\pm \mathrm{ }$ib, we were able to derive the phase-shifted form of the equation using trigonometric relations. Next, we combined the real and imaginary parts of the equations (relations 9 and 10), expanded the resulting equation, and compared it with the phase-shifted state. This process led to obtaining two simple equations for values ​​of a. Solving these equations revealed that the value is equal to 1/2. Additionally, we applied the values ​​of b and -b in equations 9 and 10, confirming that all roots of the equation lie on the $1/2\mathrm{ }$line, resulting in s = a$\mathrm{ }\pm \mathrm{ }$ib.

It seems that obtaining a prime number generator through the zero root of Riemann's zeta function is not possible. To create a prime number generator function in terms of b’, one can solve the root of the zeta function where it equals one (i.e.,$\mathsf{\zeta }\left(\mathrm{s}\right)=1)$ and establish a relationship between b’ and prime numbers. By setting the value of zeta equal to one and s' = a' + ib’, similar to zeta equal to zero, the roots are once again placed on the 1/2 line. Moving forward, we will perform operations on equation 69, which represents the complex form of the ∏ function. We assume that the real component is the cosine$\mathrm{ }\mathsf{\theta }\mathrm{p}$ function and the imaginary component is the sine $\mathsf{\theta }\mathrm{p}$ function. By using the trigonometric relationship that the square of the sine plus the square of the cosine equals one, we can derive an independent relationship between b’ and P. Therefore, if the value of b’ can be obtained from equation 61 as a numerical solution, then by using the relationship between b’ and P, referred to as the generating function of the prime number (relation 76), the prime number corresponding to b’ can be easily obtained.